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ViLeS 2 > Kap. II Theoretische Verteilungen > II-3 Die Chi-Quadrat-Verteilung > Konzepte und Definitionen |
Die-Verteilung dient in der induktiven Statistik als Basis der Verteilung von Stichprobenvarianzen und -standardabweichungen und ist somit Grundlage der statistischen Schlüsse auf die entsprechenden Parameter der Grundgesamtheit.
Darüber hinaus erlaubt die-Verteilung eine wahrscheinlichkeitstheoretische Beurteilung der deskriptiven Kontingenzmaße.
Die-Verteilung ist für n > 30 durch die Normalverteilung approximierbar.
Die-Variable ergibt sich als Summe von n quadrierten, standardnormalverteilten Zufallsvariablen. Es gilt also:
mit bei .
Die Dichtefunktionenwird hier in ihrer Funktionsform nicht wiedergegeben1.
Der einzige Parameter der Dichtefunktion ist die Anzahl der Freiheitsgrade, d.h. die Anzahl derunabhängigen Summanden, mit. Als einziger Parameter bestimmtauch die für die Verteilung relevanten Maßzahlen:
Der Erwartungswert der-Verteilung ist mit der Zahl der Freiheitsgrade identisch:
Die Varianz derVerteilung entspricht dem 2-fachen der Anzahl der Freiheitsgrade:
Charakteristisch für das Erscheinungsbild der-Verteilung ist der Modus derVerteilung (vgl. dazu z.B. die Abb. II-11 und 12). Er ist gegeben für:
für.
Die Graphen der Dichtefunktionensind fürunimodal und werden mit steigenden Freiheitsgraden zunehmend symmetrisch.
Abbildung II-11: χ 2-Verteilung für φ = 1, 3 u. 15
Ein Rechner zur Bestimmung beliebiger Wahrscheinlichkeiten und zur Erzeugung der obigen Graphiken findet sich unter diesem externen Link .
Eine grafische Darstellung der chi-Quadrat-Verteilung liefert auch der
Verteilung-Plotter von N. Johnston Weiter Alternativen finden Sie
hier und hier .
Wie für die Normalverteilung liegen die Wahrscheinlichkeiten der-Verteilung für Werte der Verteilungsfunktion vonin tabellierter Form vor. Diese werden auszugsweise für = 1...15 in Tab. II-5 widergegeben. Dabei sind die Freiheitsgrade in der Vorspalte der Tabelle zu finden, die kritischen Werte fürim inneren der Tabelle und die korrespondierenden Wahrscheinlichkeiten in den Spaltenüberschriften.
Tabelle II-5: Tabellierte -Werte fürund
Eine ausführliche Tabelle für φ ≤ 40 findet sich hier.
Ein Rechner zur Berechnungg von Wahrscheinlichkeiten für beliebige Freiheitsgrade findet sich ausserdem
unter diesem externen Link.
Abkann die-Verteilung durch die Normalverteilung approximiert werden. Wie die Abbildung II-12 zeigt, lässt die Symmetrie allerdings noch zu wünschen übrig.
Abbildung II-12:-Verteilung für
Aus diesem Grunde ist eine indirekte Approximation an die Normalverteilung über vorzuziehen ist.
ist
annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert
und
einer Varianz von Eins.
Daraus resultiert folgende Standard-Normalvariable:
1Zur Funktion und zu weiteren Einzelheiten vgl. Litz 2003 S.284 ff
letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.
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