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Vorbemerkung

Das unbekannte σ der Grundgesamtheit wird durch die Standardabweichung ŝ der Stichprobe geschätzt. In Abhängigkeit vom Stichprobenumfang werden die Grenzen des Intervalls bei n ≤ 30 auf Grundlage einer χ²-Verteilung und bei n > 30 auf Grundlage einer Standardnormalverteilung ermittelt.

1. Die Konfidenzschätzungen für die Standardabweichung und die Varianz der Grundgesamtheit bei n ≤ 30

a) Die Ableitung der Formel für ˜σ bei n ≤ 30

• Die Ableitung der Formel für das Konfidenzintervall der Standardabweichung basiert bei n ≤ 30 auf der modifizierten Standardabweichung der Stichprobe .
  
  und darauf, dass diese bei einem gegebenen σ und φ = n - 1 Freiheitsgraden mit der Wahrscheinlichkeit 1 - α in einen Bereich mit der unteren Grenze χ² _{1 - α/2} und der oberen Grenze χ²_α/2 fällt:
  .

• Durch Auflösung der Ungleichung nach σ erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig realisiertes Stichprobenintervall den Parameter σ der Grundgesamtheit abdeckt:
  .

• Nach dem Ziehen der Stichprobe erhält man analog zur Wahrscheinlichkeit für das Intervall die Konfidenz K, dafür dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ mit einem Konfidenzniveau 1 - α im Intervall vermutet werden kann:
  .

• Für die Abschätzung der Varianz gilt entsprechend:
  

b) Die Konfidenzintervalle für σ und σ² bei n ≤ 30

• Daraus resultieren der untere und der obere Grenzwert des Intervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit :
  .
  

• Für den unteren und der oberen Grenzwert des Intervalls für die Varianz der Grundgesamtheit:
  .

2. Die Konfidenzschätzungen für die Standardabweichung und die Varianz der Grundgesamtheit bei n > 30

a) Die Ableitung der Formel für ˜σ bei n > 30

• Die Ableitung der Formel für das Konfidenzintervall der Standardabweichung basiert bei n > 30 darauf, dass die modifizierte Standardabweichung der Stichprobe
  über
  durch die Standard-Normalverteilung approximiert werden kann (vgl. Punkt C im Modul die modifizierte Standardabweichung der Stichprobe ).

• Die Freiheitsgrade φ sind mit: φ = n - 1 gegeben.

• Z fällt mit der Wahrscheinlichkeit 1 - α in einen Bereich mit der unteren Grenze - Z_α/2 und der oberen Grenze +Z_α/2:
  .

• Durch Einsetzen der modifizierte Standardabweichung (s. o.) und durch Auflösung der Ungleichung nach σ erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig realisierte Stichprobenintervall den Parameter der Grundgesamtheit abdeckt:
  .

• Nach dem Ziehen der Stichprobe erhält man analog zur Wahrscheinlichkeit für das Intervall die Konfidenz K, dafür dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ mit einem Konfidenzniveau 1 - α im Intervall vermutet werden kann.

b) Das Konfidenzintervall für σ und σ² bei n > 30

• Daraus resultieren der untere und der obere Grenzwert des Intervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit:
  .

• Das Konfidenzintervall für die Varianz ergibt sich unmittelbar aus der Quadrierung der entsprechenden Grenzen für σ.

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  letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.

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