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Vorbemerkungen

• In diesem Abschnitt werden Verfahren diskutiert, mit denen von den empirischen Regressions- und Korrelationsergebnissen einer Stichprobe auf die entsprechenden Zusammenhänge in der Grundgesamtheit geschlossen werden kann.

• Diese Ergebnisse basieren auf den partiellen bzw. multiplen Regressions- und Korrelationsmodellen, die auf der Plattform-Komponenten "ViLeS 1" im Modul Multiple Regressions- und Korrelationsmodelle vorgestellt wurden.

• Aus ViLeS 1 ist bekannt, dass die multiplen Regressionskoeffizienten den partiellen/semipartiellen Regressionskoeffizienten entsprechen.

1. Der Test der multiplen Regressionskoeffizienten

Mit dem Hypothesentest wird die Signifikanz der einzelnen partiellen Regressionskoeffizienten geprüft, d.h. geklärt, ob die festgestellten Wirkungen der jeweiligen unabhängigen Variablen auch für die Grundgesamtheit anzunehmen sind oder doch nur zufällig vorgefunden wurden.

a) Die Verteilung der partiellen Regressionskoeffizienten

• Wir betrachten dazu die Verteilung der partiellen Regressionsparameter b*_j bei unendlich vielen Stichproben:
  
  

  Abb. IV-27: Die Stichprobenverteilung der b*_j

  

• Der Erwartungswert des Koeffizienten b*_j entspricht dem Parameter der Grundgesamtheit B*_j :
  
  

• Seine Standardabweichung ist gegeben mit:
  
  
  

• Die Standardabweichung der Fehler in der Grundgesamtheit σ_u wird geschätzt über den Standardfehler des Schätzers sˆ_u . Daraus resultiert der Standardfehler der Koeffizienten:
  
  
  

b) Das Testverfahren

• Getestet wird nun die Hypothese H₀, dass die partiellen Regressionskoeffizienten der Grundgesamtheit A* und B*₂....B*_k jeweils Null sind:
  
  

• Der Test basiert auf der t-verteilten Teststatistik t₀:
  
  

• Bei positiven Werten von b*_j ergeben sich für die Hypothese die in Teil A dargestellten Annahme- und Ablehnungsbereiche auf der Basis der t-Verteilung:
  
  

  Abb. IV-24: Die Grenzen des Annahmebereichs auf der Basis der t-Verteilung

  

• t_α0 ergibt sich bei φ = n - k Freiheitsgraden und einem Signifikanzniveau von α₀ aus der Tabelle oder einem Rechner.

• Alternativ kann die Nullhypothese zurückgewiesen werden, wenn die für t₀ berechnete Signifikanz von α < 0,01 bzw. < 0,05 ist.

• Bei negativen Werten von b*_j ergibt sich der Ablehnungsbereich für die Hypothese mit t < -t_α0 .

2. Die Tests der multiplen Determinationskoeffizienten

a) Der Test des Gesamtmodells

• Die Hypothese lautet, dass der Determinationskoeffizient der Grundgesamtheit Null ist:
  
  

• Diese Hypothese wird mittels der F-Verteilung getestet und abgelehnt, wenn

• Abb. IV-28: Annahme- und Ablehnungsbereiche für F

  

• F₀ ist als Verhältnis der, mit den jeweiligen Freiheitsgraden gewichteten, erklärten Gesamtsumme der Abstandsquadrate zur nicht-erklärten Gesamtsumme der Abstandsquadrate definiert:
  
  

• ergibt sich bei k-1 Zählerfreiheitsgraden und n-k Nennerfreiheitsgraden bei gewähltem Signifikanzniveau von Α aus der Tabelle oder über den Rechner.

• Alternativ kann die Nullhypothese zurückgewiesen werden, wenn der berechnete Wert F₀ < 0,01 bzw. < 0,05 ist.

• t_α0 ergibt sich bei φ = n - 2 Freiheitsgraden und einem Signifikanzniveau von α₀ aus der Tabelle oder einem Rechner.

• Alternativ kann die Nullhypothese zurückgewiesen werden, wenn die für t₀ berechnete Signifikanz von α < 0,01 bzw. < 0,05 ist.

• Bei negativen Werten von b ergibt sich der Ablehnungsbereich für die Hypothese mit t < -t_α0 .

b) Der schrittweise Test der Modellkomponenten

• Der schrittweise Test beinhaltet den Test der zuletzt aufgenommenen Variablen x_k*

• Die Hypothese
  
  
  
  wird angenommen, wenn:
  
  
  

  entspricht bei k* = 2 und deshalb k* - 1 = 1 Zählerfreiheitsgraden und n-k* Nennerfreiheitsgraden einer t-Verteilung mit n-k* Freiheitsgraden.

• F₀(k*) ist hier als Verhältnis der durch die jeweils zuletzt aufgenommenen unabhängigen Partial-Variable erklärten Summe der Abstandsquadrate zur nicht-erklärten Gesamtsumme der Abstandsquadrate definiert:
  
  
  

• t_{(n - k*)} erhalten wir bei n-k* Freiheitsgraden bei gewähltem Signifikanzniveau von Α aus der Tabelle oder über den Rechner.

• Alternativ kann die Nullhypothese zurückgewiesen werden, wenn der berechnete Wert t_{(n - k)} < 0,01 bzw. < 0,05 ist.

c) Der fallweise Test der Modellkomponenten

• Der fallweise Test prüft die Signifikanz aller am Ende aufgenommen Variablen x_j

• Die Hypothese
  
  
  
  wird angenommen, wenn:
  
  
  

• F₀(k*) ist nun als Verhältnis der durch die einzelnen insgesamt aufgenommenen Variablen erklärten Gesamtsumme der Abstandsquadrate zur nicht-erklärten Gesamtsumme der Abstandsquadrate definiert:
  
  
  

• t_{(n - k)} erhalten wir bei n-k Freiheitsgraden bei gewähltem Signifikanzniveau von Α aus der Tabelle oder über den Rechner.

• Alternativ kann die Nullhypothese zurückgewiesen werden, wenn der berechnete Wert t_{(n - k)} < 0,01 bzw. < 0,05 ist.

3. Störfaktoren in der multiplen Regressions- und Korrelationsanalyse

Eine Beeinträchtigung der Inferenzschlüsse im Rahmen der Regressions- und Korrelationsanalyse kann durch zwei Phänomene auftreten:

• eine zu starke Korrelation innerhalb der unabhängigen Variablen (Multikollinearität)

• eine gegenseitige Abhängigkeit der Werte der Fehlervariable (Autokorrelation).

Das Vorliegen derartiger Störungen kann durch die folgenden Prüfverfahren festgestellt werden.

a) Die Prüfung der Multikollinearität

• Bezeichnet den multiplen Determinationskoeffizienten zwischen einer unabhängigen Variablen X_j und den übrigen unabhängigen Variablen und die "Toleranz" die Unabhängigkeit der Variablen X_j von den übrigen unabhängigen Variablen, dann gilt für den Standardfehler des zugehörigen partiellen Regressionskoeffizienten b*_j :
  

• Bei vollständiger Abhängigkeit einer unabhängigen Variablen X_j von den anderen unabhängigen Variablen (d.h. bei ), geht die Toleranz gegen Null und der Konfidenzbereich von gegen unendlich.

• Damit kann der Beitrag der Variablen X_j nicht mehr bestimmt werden und die Variable ist aus dem Satz der unabhängigen Variablen zu entfernen.

b) Der Fall der Autokorrelation

• Autokorrelation bezeichnet die Korrelation der Fehlervariable mit sich selbst in der Form .

• Autokorrelation lässt sich mit den Durbin-Watson-Test feststellen.
  Dabei sind für die Teststatistik "d" in Abhängigkeit von der Anzahl der Variablen (k) und der Fallzahl (n) folgende Annahme und Ablehnungsbereiche gegeben:
  

  Abb. IV-30: Annahme- und Ablehnungsbereiche für d (bei n=100 und k=5)

  

• Autokorrelation kann z.B. in einer Zeitreihe gegeben sein, wenn Abweichungen von der Funktion zum Zeitpunkt t die Abweichungen zum Zeitpunkt t + 1 beeinflussen. Verfahren zur Ausschaltung der Autokorrelation (z.B. durch die Betrachtung der Differenzen zweier zeitlich aufeinanderfolgenden Werte) finden sich in der Literatur zur Zeitreihenanalyse .

Als Ergänzung zur einfaktoriellen Varianzanalyse und mehrfaktoriellen Varianzanalyse in Viles 1 werden hier die Testansätze für die Komponenten des varianzanalytischen Modells vorgestellt:

Übersicht IV-1: Testansatz und -Voraussetzungen in der einfaktoriellen Varianzanalyse

Übersicht IV-2: Die Durchführung des Tests in der einfaktoriellen Varianzanalyse

Übersicht IV-3: Test der Komponenten der mehrfaktoriellen Varianzanalyse

Hinweise:

• Der Arbeitschritt "Beispiele und Aufgaben" zum Test des multiplen Regressions- und Korrelationsmodells findet sich hier

• Teil B dieses Moduls "Beispiele und Aufgaben zum Test des einfachen Regressions- und Korrelationsmodelle" findet sich unter dem Link "Nächster Text in diesem Arbeitsschritt" in der Fußleiste.

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  letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.

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