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1. Beispiele

a) Ableitung einer Stichprobenverteilung der X̄ aus einer kleinen Grundgesamtheit

Zunächst soll das Ziehen von Stichproben und die Generierung einer Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels anhand einer kleinen Grundgesamtheit demonstriert werden: Eine Gesamtheit vom Umfang N = 5 lasse sich wie nachstehend charakterisieren:

i	x1	f1
1	2	1
2	4	1
3	6	1
4	8	1
5	10	1

Diese Verteilung weist einen Mittelwert μ = 6 und eine Varianz σ² = 8 auf.

• Jetzt werden aus dieser Gesamtheit Auswahlen ohne Wiederholung vom Umfang n = 2 gezogen.

• Wir bestimmen die exakte Verteilung der Stichprobenmittel und stellen diese graphisch dar! Dabei lassen sich 10 unterschiedliche Stichproben ziehen.

  Abbildung III-6: Verteilung der Stichprobenmittelwerte bei n = 2

  
  
  
  

• Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung ergeben sich aus der Verteilung (vgl. Abb. III-6) wie folgt:

  
  

  Der Mittelwert der Stichprobenmittel beträgt 6. Die Varianz der Stichprobenmittel ist 3.

• Unter Berücksichtigung des Endlichkeitsfaktors kann die Varianz auch aus den Parametern der Grundgesamtheit abgeleitet werden:

  
  

• Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Stichprobenmittel Werte zwischen 4 und 6 einschließlich dieser Grenzen annimmt?
  Durch Auszählen ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0.6, d.h. 60% aller denkbarer Stichproben ergeben Mittelwerte zwischen 4 und 6.

Eine detaillierte Darstellung der insgesamt gezogenen Stichproben und eine exakte Ableitung ihrer Parameter findet sich unter dem Link für die Musterlösungen zur Aufgabe (26) am Ende des Kapitels.

b) Beispiel einer Stichprobenverteilung der X̄ bei bekanntem σ

Im Folgenden betrachten wir die Verteilung der Stichprobenmittelwerte, die sich bei einer Ziehung von Stichproben im Umfang von n = 36 aus einer beliebig verteilten Grundgesamtheit von Nettomonatslöhnen eines bestimmten Berufszweiges mit einem arithmetischen Mittel vonund einer Standardabweichung vonergeben. Es gilt dann:

und

Diese Verteilung ist in Abb. III-7 dargestellt:

Abbildung III-7: Verteilung der Stichprobenmittelwerte

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen die Stichproben in den ± 2σ-Bereich um E(X̄) = 1000?

  .

  Nach den für Normalverteilungen geltenden Gegebenheiten erbringen somit etwa 95% aller Stichproben durchschnittliche Stundenlöhne zwischen 800 und 1200 €.

• In welchen symmetrischen Bereich falle nun 99% aller Stichprobenmittelwerte?
  
  Gesucht sind damit X̄_u und X̄_o in: P(X̄_u ≤ X̄ ≤ X̄_o) = 0.99.
  Über: P(z_u ≤ z ≤ z_o) = 0.99 mit: z_u = - 2.58 und z_o = + 2.58 erhalten wir mittels der Z-Transformation:

  .

  X̄_u,o = μ ± z · σ/√n = 1000 ± 2.58 · 600/√36 = 1000 ± 258.
  
  

  Damit liegt X̄ mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 im Bereich: 742 ≤ X̄ ≤ 1258.

c) Beispiel einer Stichprobenverteilung der X̄ bei unbekanntem σ (n = 25)

• Wir variieren nun bei einem μ von 1000 die obige Aufgabe, indem wir annehmen, dass σ unbekannt ist und durch ŝ = 500 aus einer Stichprobe von n = 25 ersetzt werden kann.
  In welchem symmetrischen Bereich sind nun 99% aller X̄ zu erwarten?

• Die relevante Prüfgrösse ist t-verteilt. Gesucht sind damit t_u und t_o im Ausdruck P(t_u ≤ t ≤ t_o) = 0.99.

• Mit:

  .

  erhalten wir bei φ = n - 1 = 24:
  X̄_u,o = μ ± t · ŝ/√n = 1000 ± 2.797 · 500/√25.

• Damit liegt X̄ mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 im Bereich: 720.3 ≤ X̄ ≤ 1279.7.

2. Aufgaben

Im Folgenden haben Sie die Möglichkeit, weitere Aufgabenstellungen zur Stichprobenverteilung der Mittelwerte anhand von vorgegebenen Aufgaben und interaktiven Lösungstool zu bearbeiten und bereitgestellte Musterlösungen nachzuvollziehen. Dazu finden Sie am Ende dieser Seite einen Link auf die Musterlösungen zu diesen Aufgaben.

Aufgabe (27)

Nehmen Sie Stellung zu folgenden Aussagen:

• Der Erwartungswert der arithmetischen Mittel einer Zufallsvariablen in gleichartigen Stichproben aus derselben Grundgesamtheit ist gleich dem arithmetischen Mittel der Grundgesamtheit.

• Der Erwartungswert der Standardabweichungen einer Zufallsvariablen in gleichartigen Stichproben aus derselben Grundgesamtheit ist gleich der Standardabweichung dieser Zufallsvariablen in der Grundgesamtheit.

• Der Betrag des Standardfehlers des arithmetischen Mittels einer Zufallsvariablen verhält sich umgekehrt proportional zum Betrag der Varianz dieser Variablen in der Grundgesamtheit.

• Der Betrag des Standardfehlers des arithmetischen Mittels einer Zufallsvariablen verhält sich proportional zum Stichprobenumfang.

• Das Verhältnis Standardabweichung zu arith. Mittel in einer Stichprobe ist immer gleich diesem Verhältnis in der zugehörigen Grundgesamtheit.