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| ViLeS 2 > Kap. I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung > I-1 Zufallsereignisse und Ereigniskalküle > Konzepte und Definitionen |
Zufallsereignisse sind Ergebnisse eines Zufallsprozesses. Dieser ist gekennzeichnet durch:
eine bestimmte Regelhaftigkeit der Durchführung,
die beliebige Wiederholbarkeit des Ablaufs und
die Unvorhersehbarkeit seines konkreten Resultats.
Gängige Beispiele sind das Werfen einer Münze oder eines Würfels, das Ziehen einer Karte aus einem Stapel und die zufällige Auswahl einer Person aus einer Personengruppe.
Die Gesamtheit aller möglichen Ereignisse wird als Ereignisfeld oder als Ereignissystem bezeichnet. Man unterscheidet dabei in nicht weiter zu differenzierende Elementarereignisse und in zusammengesetzte Ereignisse.
Elementarereignisse ei
sind
solche Ereignisse, die sich nicht weiter aufspalten lassen. Also z.B. eine bestimmte Augenzahl als Ergebnis eines Würfelwurfs.
Die Menge
aller Elementarereignisse bilden den Ereignisraum E des
Zufallsexperimentes, beim Wurf eines einzelnen sechsflächigen
Würfels also E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Wir können jedoch auch Ereignisse definieren, die mehrere
Elementarereignisse enthalten. Legen wir fest, das Ereignis A
sei eingetreten, wenn eine Zahl größer 3 gewürfelt
wird, enthielte A drei Elementarereignisse, also A = {4, 5, 6}.
Sobald also als Ergebnis des Zufallsexperimentes eines dieser
Elementarereignisse eintritt, tritt auch das Ereignis A ein.
Die bisherigen Zusammenhänge sind in der nachfolgenden Übersicht zusammengefasst:
Abbildung I-2: Zufallsexperimente und Ereignisse
Neben den Elementarereignissen und Ereignissen, die mehrere Elementarereignisse enthalten, sind die folgenden Ereignistypen zu unterscheiden, jeweils illustriert am Beispiel eines einfachen Würfelwurfs:
Das Teilereignis B ⊂ A: Ist A definiert als Augenzahl größer 2 und B als Augenzahl größer 5, so wäre B Teilereignis von A.
Das Sichere Ereignis S besteht im Wurf einer Augenzahl zwischen 1 und 6. Dieses Ereignis tritt in jedem Fall ein.
Das unmögliche Ereignis ∅ wäre z. B. ein Wurf einer Augenzahl größer 6. Dieses Ereignis tritt in keinem Fall ein.
Das komplementäre Ereignis Ā umfasst den gesamten Bereich des Ereignisraumes E, der nicht dem Ereignis A zugeordnet ist. Wenn A = {2 ,4 ,6}, also die geraden Augenzahlen beinhaltet, so ist Ā = {1, 3, 5} und umfasst die ungeraden Augenzahlen.
Disjunkte Ereignisse sind solche Ereignisse, zwischen denen keine Schnittmenge existiert, die sich also gegenseitig ausschließen, z.B.: A = {1,2,3} und B = {5, 6}.
Äquivalente Ereignisse A = B sind Ereignisse mit identischen Elementarereignissen, also das Ereignis A mit : A = {2, 4, 6} und das Ereignis B, das alle geraden Augenzahlen umfasst.
Die
Verknüpfung von Ereignissen erfolgt über
Ereignisoperationen. Diese entsprechen denen der allgemeinen
Mengenlehre. Ereignisse lassen sich graphisch in Form von Venn-Diagrammen
darstellen. Dabei wird der Ereignisraum d.h. die Menge aller
Elementarereignisse als Rechteck, die über dem Raum definierten
Ereignisse als beliebige Teilflächen dieses Rechtecks
ausgedrückt.
Wir definieren als:
Schnittmenge (UND-Verknüpfung) zweier Ereignisse das gemeinsame Auftreten zweier Ereignisse A und B und schreiben C = A ∩ B,
Abbildung I-3a: Darstellung der Schnittmenge im Venn-Diagramm
Sind A und B disjunkt, gilt: A ∩ B = ∅.
Vereinigungsmenge (ODER-Verknüpfung) das Auftreten des Ereignisses A odes des Ereignisses B und schreiben : C = A ∪ B
Abbildung I-3b: Darstellung der Vereinigung im Venn-Diagramm
Es gilt: A ∪ Ā = S.
Differenz zweier Ereignisse das Auftreten des Ereignisses A ohne deren Elemente in B und schreiben: C = A - B.
Abbildung I-3c: Darstellung der Differenz im Venn-Diagramm
Die Definitionen zu den Ereignistypen und -operationen sind in der nachfolgenden Übersicht zusammengefasst:
Übersicht I: Ereignistypen und -operationen
Die
Dimensionalität von Ereignissen bezeichnet die
Häufigkeit, mit der ein Experiment durchgeführt wird, also
z.B. die Anzahl gemeinsam oder hintereinander geworfener Würfel
oder die Anzahl aus einem Stapel gezogener Karten.
Zweidimensionale Ereignisse sind demnach Ereignisse, die zweimal ausgeführt werden, also z.
B. einen Würfel zweimal zu werfen oder zwei Würfel zu werfen.
Ein zweidimensionales Ereignis wäre also das Ereignis zweimal eine "6" zu werfen.
Zwei- und mehrdimensionale Ereignisse werden im Modul zur Wahrscheinlichkeitsrechnung ausführlicher behandelt.
letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.
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