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ViLeS 2 > Kap. II Theoretische Verteilungen > II-1 Die Binomialverteilung > Konzepte und Definitionen

Konzepte und Definitionen im Modul II-1 Die Binomialverteilung

1. Vorbemerkungen

a) Die Struktur der Grundgesamtheit

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, die sich durch Ziehung aus einer dichotomen Grundgesamtheit ergibt. Dies bedeutet: Es gibt in der Grundgesamtheit nur zwei mögliche Ereignisse A und Ä€.
Greift beispielsweise aus N Personen der GG eine Stichprobe von n Personen heraus und befragt diese danach, ob sie ein eigenes Auto besitzen, so ist dies eine Ziehung aus einer dichotomen Grundgesamtheit. Es gibt nur zwei mögliche Ereignisse, nämlich eine Person „besitzt ein Auto“ und sie „besitzt kein Auto“.

b) Die Struktur der Stichprobe

Aus dieser Grundgesamtheit resultiert die Binomialverteilung als Folge einer daraus gezogenen Stichprobe: Wenn z.B. 15% der Bevölkerung älter als 65 Jahre sind, stellt sich hinsichtlich eines Stichprobenergebnisses die Frage: Wie wahrscheinlich es ist, in einer Stichprobe vom Umfang n genau Personen zu finden, die älter als 65 Jahre sind? Solche Ziehungen aus einer dichotomen Grundgesamtheit entsprechen einem sog. Bernoulli-Experiment. Dieses ist durch drei Eigenschaften gekennzeichnet:

  • Es gibt nur zwei mögliche, einander ausschließende Ereignisse A und Ä€.

  • Die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse sind beim Ziehen der Stichprobe konstant:

    P(A) = p und P(Ä€) = 1 - p = q

  • Die einzelnen Versuche (Ziehungen) sind voneinander unabhängig.

Die zweite und dritte Bedingung werden als annähernd erfüllt angesehen, wenn der Auswahlsatz weniger als 5% der Grundgesamtheit ausmacht, also n/N < 0,05 ist.

Sind die obigen Bedingungen erfüllt, so ist die Zufallsvariable K, d.h. die gesucht Anzahl von Personen in der Stichprobe mit der Eigenschaft A binomialverteilt. Den jeweiligen Werten von ki werden dann mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(k i) = P(K = k i) die Wahrscheinlichkeiten ihres Auftretens zugewiesen.

2. Die Eigenschaften der Binomialverteilung

a) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion

  • Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung ergibt sich unter Berücksichtigung der Anzahl der möglichen Kombinationen und der Eintrittswahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse. Sie lautet:

    .

  • Ihre Verteilung lässt sich in Kurzform durch Angabe der relevanten Parameter k, n, p als B(k,n,p) charakterisieren.

  • Die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion können nach dieser Formel berechnet, aber für ausgewählte Parameter auch direkt aus der tabellierten Binomialverteilung abgelesen werden (vgl. dazu auszugsweise Tab. II-1).

  • Im Bernoulli-Experiment existieren nur zwei mögliche Ereignisse, so dass P(k |A) = p und P(n - k | Ä€) = p gleich sind. Daher gilt die sog. Symmetrieeigenschaft:

    B(k, n, p) = B(n - k, n, 1 - p)

b) Die Tabellierung der Wahrscheinlichkeitsfunktion

In der Regel sind die Werte der Binomialverteilung nur für p ≤ 0,5 tabelliert. Wegen der oben erläuterten Symmetrieeigenschaft der Binomialverteilung können die Werte auch für p > 0,5 aus der Tabelle abgelesen werden. Einen Auszug aus einer solchen Tabelle präsentiert Tab. II-1:

Tabelle II-1: Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung

(für n ≤ 6 und ausgewählte p)

Eine ausführliche Tabelle der Wahrscheinlichkeiten finden Sie hier.

c) Die Parameter der Wahrscheinlichkeitsfunktion

  • Der Erwartungswert der Binomialverteilung ergibt sich als

    E(K) = n · p

    Dies ist unmittelbar einleuchtend: Geht man beispielsweise davon aus, dass 30% der Bevölkerung jedes Jahr an Grippe erkranken, so erwartet man, dass von n = 1000 Personen einer Stichprobe n · p = 300 Personen krank werden.

  • Die Varianz der Binomialverteilung ergibt sich mit:

    VAR(K) = n · p · (1 - p)

  • Approximation der Binomialverteilung: Für VAR(K) ≥ 9 kann die diskrete Binomialverteilung unter Beachtung einer Stetigkeitskorrektur durch eine Normalverteilung approximiert werden (vgl. dazu die Module zur Normalverteilung).

d) Die Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass K ≤ k0 ist:

Ihre Werte ergeben sich durch Aufkumulieren der Werte der tabellierten Wahrscheinlichkeitsfunktion.

e) Tabellarische und graphische Darstellung

  • Die Tabelle der Wahrscheinlichkeits- und der Verteilungsfunktion

    Für eine Binomialverteilung mit p = 0,25 und n = 3 erhält man aus Zeilenblock 3 und Spaltenblock 6 der Tab. II-1 die Werte für Spalte 2 der folgenden Tabelle II-2. Die Werte der Verteilungsfunktion werden in Spalte 3 und 4 wiedergegeben:

    Beispiel II-1: Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion

    0

    0,4219

    0,4219

    0,4219

    1

    0,4219

    0,4219+0,4219

    0,8438

    2

    0,1406

    0,4219+0,4219+0,1406

    0,9844

    3

    0,0156

    0,4219+0,4219+0,1406+0,0156

    1

  • Graphik der Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion

    Die graphische Abbildung beider Funktionen ergibt:

    Abbildung II-1: Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion

    f) Interpretation der Werte

    Was besagen nun z. B. die Werte in den Spalten 2 und 4 der obigen Tabelle II-2?

    • Die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion (Spalte 2):

      Nehmen wir an, eine Partei hat einen Wähleranteil von 25% (p = 0,25). Dann ist die Wahrscheinlichkeit unter 3 zufällig ausgewählten Personen keinen (k = 0) Wähler dieser Partei zu finden etwa 42%: f(ki) = 0,4219 und die Wahrscheinlichkeit gleich 3 Wähler (k = 3) zu finden, knapp 1,6%: f(ki) = 0,0156.

    • Die Werte der Verteilungsfunktion (Spalte 4):

      Hier finden sich die kumulierten Werte. Danach ist die Wahrscheinlichkeit unter 3 zufällig ausgewählten Personen höchsten einen (k ≤ 1) Wähler dieser Partei zu finden etwa 84%: F(k0)= 0,8438 und die Wahrscheinlichkeit höchstens 2 Wähler (k ≤ 2) zu finden, etwa 98%: F(k0) = 0,9844).


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