1. Beispiele

a) Beispiel einer diskreten Dichtefunktion

Ein weiteres Beispiel einer diskreten Dichtefunktion behandelt das Würfeln mit einem Würfel. Dazu werden der Ereignisraum, die Wahrscheinlichkeitsfunktion, der Erwartungwert und die Varianz bestimmt:

• Erwartungsraum und Wahrscheinlichkeitsfunktion:
  

  

• Erwartungswert:
  

  

• Varianz:
  

  

• Eine praktische Anwendung: Gesetzt den Fall, Sie spielen ein Würfelspiel, bei dem Sie dem Gegner bei einem entsprechenden Einsatz die geworfene Augenzahl in EUR auszahlen. Wie hoch muss der Einsatz mindestens sein, damit Sie im Schnitt nicht daraufzahlen?
  Antwort: Sie verlangen als Einsatz mindesten den Erwartungswert von 3,50 EUR.

b) Beispiel einer stetigenen Dichtefunktion

Bezüglich der formelmäßigen und graphischen Darstellung von stetigen Dichtefunktionen wird wegen deren Komplexität auf das nächste Kapitel verwiesen.

2. Aufgaben

a) Aufgabe zur diskreten Wahrscheinlichkeitsfunktion

Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Dabei wird angenommen, daß es sich um ideale Würfel handelt. Die Augenzahl der beiden Würfel wird addiert. Bestimmen Sie dazu die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x_j) der Zufallsvariable „Augensumme zweier Würfel “!

• Schritt 1

  Dazu müssen zunächst Art und Größe des Ereignisraumes bestimmt werden.

  • Der Ereignisraum ergibt sich als

    Bitte auswählen! Stichprobe mit Zurücklegen Stichprobe ohne Zurücklegen Permutation Variation ohne Wiederholung Variation mit Wiederholung

    Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Ereignisse über die kombinatorische Formel zum Ereignisraum. Danach umfaßt der Ereignisraum mögliche Ereignisse

• Schritt 2

  Vorbemerkung: Da die Schritte 2 -4 sehr aufwändig zu bearbeiten sind, kann auch auf die Lösung der Aufgabenstellung zu Aufgabe 11 im Link am Endes des Moduls zurückgegriffen werden.

  • Nehmen Sie nun die Zuordnung der Elementarereignisse zu den Ausprägungen der Zufallsvariablen vor und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

  • Benutzen Sie das Programm Webstat (im Tool-Bereich), um diese Wahrscheinlichkeitsfunktion grafisch darzustellen

  Schritt 3

  Berechnen Sie nun den Erwartungswert E(X) sowie die Varianz VAR(X) der Zufallsvariable:

  • E(X)=

    VAR(X)= (auf zwei Stellen gerundet!)

  Schritt 4

  Berechnen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F(x_j) der Zufallsvariable.

  Schritt 5

  Denken Sie über die folgende Frage nach:

  Welche Möglichkeiten hätten Sie, die Wahrscheinlichkeitsfunktion zu bestimmen, wenn sie nicht von der Annahme idealer Würfel ausgehen könnten, d.h. die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für das Fallen bestimmter Augenzahlen nicht bekannt wäre (tatsächlich erfüllt kaum ein Würfel diese Voraussetzungen).

  b) Weitere Aufgaben zu diskreten Verteilungen

  Im Folgenden haben Sie die Möglichkeit, verteilungstheoretischen Fragestellungen anhand von vorgegebenen Aufgabenstellungen und bereitgestellten Musterlösungen nachzugehen. Dazu finden Sie am Ende dieser Seite einen Link auf die Musterlösungen zu diesen Aufgaben.

  Aufgabe (11)

  1. Erläutern Sie am Beispiel der Augensumme beim Würfeln mit zwei Würfeln die Begriffe Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion. Stellen Sie beide Funktionen tabellarisch und graphisch dar. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz für die Augenzahl.

  2. Wie hoch musste der Einsatz mindestens sein, wenn in einem Spiel der Spielleiter die Augensumme als Gewinn auszahlt, damit die Bank im Durchschnitt keinen Verlust macht?

  Aufgabe (12)
  Eine Zufallsvariable X besitze die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:

  x	8	12	16	20	24
  f(x)	1/8	1/6	3/8	1/4	1/12

  1. Bestimmen Sie und zeichnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.

  2. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz VAR(X)

  Aufgabe (13)
  Eine Lebensversicherung über 60.000,- DM kostet einen 40-jährigen Versicherungsnehmer eine Jahresprämie von 450,- DM. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein 40 jähriger im laufenden Jahr stirbt, beträgt nach den Sterbetafeln der Versicherung 0,004. Wie hoch ist die Gewinnerwartung der Versicherung für den Abschluss in diesem Jahr?

  c) Aufgaben zur stetigen Verteilungen

  Aufgabe (14)
  Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X sei:

  f(x) = k · x für 5 ≤ x ≤ 9 mit k > 0 und f(x) = 0 für alle anderen x.

  Bestimmen Sie k und zeichnen Sie die Dichtefunktion!

  Wie lautet die Verteilungsfunktion von X ?

  Wie groß sind Median, Erwartungswert und Varianz?

  Eine Musterlösungen dazu finden Sie am Ende dieser Seite im Link .

  Zur Musterlösung der Aufgaben (11) bis (14)

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